Plus précisément, voici quelques exemples concrets sur lesquels nous travaillons :
ETUDE DE QUELQUES MODELES QUANTIQUES PARTIELLEMENT ALGEBRIQUES OU « QUASI-EXACTLY SOLVABLE »
Mon travail est axé sur des modèles partiellement algébriques ou « quasi-exactly solvable (QES) ». Ce sont des modèles pour lesquels, on ne peut déterminer qu’une partie de leur spectre d’énergie analytiquement.
En premier lieu, je me suis intéressée à des Hamiltoniens quantiques décrivant N particules ; plus précisément des extensions des modèles originaux de Calogero et de Sutherland. En opérant des transformations de gauge et un changement de variable approprié sur le modèle étendu de Calogero, on a abouti à un opérateur complètement algébrique ou « exactly solvable » ; on a pu déterminer analytiquement tout son spectre d’énergie. En outre, on a pu construire des Hamiltoniens pour lesquels une partie du spectre peut être calculée analytiquement. Ces opérateurs sont dits partiellement algébriques ou « QES ». Tous ces opérateurs étendus de Calogero sont non hermitiques mais sont invariants sous l’action combinée de l’opérateur de parité P et de l’opérateur du renversement du temps T, ils sont « PT-symmetric ». C’est cette proprièté de « PT-symmetry » qui explique le réalité du spectre d’énergie. Notez ici qu’on a appliqué intégralement ces mêmes opérations au modèle étendu de Sutherland et là également des résultats intéressants ont été trouvés.
En second lieu, on a étendu cette définition à des opérateurs différentiels matriciels non hermitiques mais « PT-symmetric » appelés aussi opérateurs à équations couplées. Là, on a établi un ensemble de conditions algébriques pour tester si des opérateurs matriciels non hermitiques « PT-symmetric » d’ordre 2 préservent un espace vectoriel invariant de dimension finie qui a comme composantes des polynômes 2-uples. Pour illustrer cette méthode analytique dite QES, on l’a appliquée à un opérateur matriciel polynômial, à un opérateur matriciel trigonométrique et enfin à un opérateur matriciel hyperbolique du type de Razhavi. Les conditions algébriques sur les paramètres de couplage de tous ces trois opérateurs matriciels « PT-symmetric » ont fait qu’ils soient QES.
On a pu déterminer une partie des valeurs propres (le spectre) de l’opérateur matriciel trigonométrique « PT-symmetric ». Et on a pu représenter ces valeurs propres sur une figure montrant les régions où la proprièté de « PT-symmetry » est brisée selon leur réalité.
A. Nininahazwe